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Einleitung
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Theoreme der Schaltalgebra
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Gesetze der Schaltalgebra
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Allgemeines
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1.Einleitung
Schaltalgebra ist eine Sonderform der Boolschen Algebra, die von dem englischen
Mathematiker Boole entwickelt wurde. Sie befaßt sich mit formaler
Beschreibung von digitalen Schaltnetzen (aus logischen Bauelementen aufgebaut)
und sie dient der Berechnung und Vereinfachung der Digitalschaltungen (z.B.
zur Bestimmung der Steueraufgaben und Rechenvorgängen).
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2. Theoreme der Schaltalgebra
"Ù" = UND
"Ú" = ODER
" "= NICHT
2.1 UND-Verknüpfung
A Ù 0 = 0
A Ù 1 = A
A Ù A = A
A Ù 
= 0
2.2 ODER-Verknüpfung
A Ú 0 = A
A Ú 1 = 1
A Ú A = A
A Ú
= 1
2.3 NICHT-Verknüpfung
A = 
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3. Gesetze der Schaltalgebra
Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz)
Das Kommutativgesetz besteht entweder nur aus ODER oder aus UND Gliedern,
dessen Variablen beliebig vertauscht werden können.
Q = A Ù B Ù
C = C Ù B Ù
A
Q = A Ú B Ú
C = C Ú B Ú
A
Assoziativgesetz (Verbindungsgesetz bzw. Zuordnungsgesetz)
Das Assoziativgesetz ist dem Kommutativgesetz sehr ähnlich.
Q = A Ù (B Ù
C) = (A Ù B) Ù
C
Q = A Ú (B Ú
C) = (A Ú B) Ú
C
Distributivgesetz (Verteilungsgesetz)
Das Distributivgesetz besteht aus UND und ODER Gliedern, es dient der Umformung
der Gleichung (ausklammern und ausmultiplizieren), wodurch diese vereinfacht
wird.
Q = A Ù (B Ú
C) = (A Ù B) Ú
(A Ù C) a.) A Ù
(A Ú B) = A
Q = A Ú (B Ù
C) = (A Ú B) Ù
(A Ú C) b.) A Ú
(A Ù B) = A
DeMorgan Gesetze
Die Schaltagebra wurde von dem englischen Mathematiker DeMorgan erweitert;
er hat auch neue Gesetze aufgestellt. Es existieren zwei Gesetze, die sehr
praktisch bei der Auflösung von negierten Ausdrücken sind. Diese
sind besonders für NAND- und NOR- Verknüpfungen wichtig.
_____ _ _
Q = A Ù B = A Ú B
Entspricht der Gleichung für die NAND-Verknüpfung
_____ _ _
Q = A Ú B = A Ù B
Entspricht der Gleichung für die NOR-Verknüpfung
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4. Allgemeines
In der Schaltalgebra existieren nur zwei Konstanten, "0" und "1", sowie
eine Reihe von Variablen, denen man die Werte "logisch 1" und "logisch
0" zuordnen kann.
Ist ein Schalter offen, so nimmt die Variable den Wert "0" an.
Ist ein Schalter geschlossen, so nimmt die Variable den Wert "1" an.
Die Vereinfachungsregeln gleichen zum Teil denen der bekannten Algebra;
Die Operationen "Ù" und "Ú"
spielen in der Schaltalgebra eine ähnliche Rolle, wie die Operationen
"*" und "+" aus der Zahlenalgebra (Punktrechnung, hier: UND, geht vor Strichrechnung,
hier: ODER).
Es läßt sich jede beliebige Schaltung aus NICHT, UND und
ODER zusammensetzen. Aus NAND oder NOR läßt sich ebenfalls jede
beliebige Schaltung aufbauen.
Vorrangregeln
Auch in der Schaltalgebra kann eine bestimmte Reihenfolge der durchzuführenden
Operationen vereinbart werden. Diese lauten :
1.) Negation oder Inversion (NICHT - Verknüpfung)
2.) Konjunktion (UND - Verknüpfung)
3.) Disjunktion (ODER - Verknüpfung)
Klammersetzung
NOR - Verknüpfung: keine Klammern erforderlich
UND - Verknüpfung: keine Klammern erforderlich
ODER - Verknüpfung: Klammern unbedingt erforderlich (damit die
Bedeutung der Gleichung erhalten bleibt).
Klammern sind vor allem dann zu setzen, wenn die De Morganschen Gesetze
auf NAND- oder NOR- Verknüpfungen angewendet werden.