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Allgemeines
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Dezimalsystem
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Duales/binäres Zahlensystem
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Addition
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Komplementbildung
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Subtraktion durch Addition des Komplements
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Multiplikation/Division
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Hexadezimalsystem
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Tabelle als Orientierungshilfe
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1. Allgemeines
Die heute gebräuchlichen Zahlensysteme werden Positionssysteme bzw.
Stellenwertsysteme genannt. Mit diesen Systemen sind die mathematischen
Rechenoperationen ohne weiteres durchführbar (Dies ist z.B. nicht
mit den römischen Zahlen möglich.). Diese Stellenwertsysteme
gehen auf die Inder zurück, von denen sie über den vorderen Orient
zu uns kamen.
Hauptsächlich verwendete Zahlensysteme sind:
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Dezimalsystem
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Dualsystem (Binärsystem)
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Hexadezimalsystem
Sie werden als Stellenwertsysteme bezeichnet, weil in diesen Systemen jedem
Zahlenwert außerdem ein Stellenwert zugeordnet ist. Bei der Dezimalzahl
3752 gibt z.B. die 5 durch ihre Stellung an, daß es sich um 5 Zehner
handelt.
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2. Dezimalsystem
Jedes Zahlensystem hat verschiedene Nennwerte.
Alle Zahlen setzen sich aus diesen Nennwerten zusammen.
Das Dezimalsystem hat die Nennwerte 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 .
Die Anzahl der Nennwerte entspricht der Basis (der Grundzahl) des jeweiligen
Systems, also ist die Basis im Dezimalsystem 10. Die Basis 10 kam wahrscheinlich
dadurch zustande, daß man sich an den 10 Fingern orientierte.
Stellenwerte: 100 = 1
101 = 10 102 = 100
...
Die Zahl 3752 setzt sich also zusammen aus:
2*100 + 5*101 + 7*102 + 3*103
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3. Duales Zahlensystem
Die Nennwerte im dualen Zahlensystem sind 0 und 1.
Somit ist die Basis 2.
Stellenwerte : 20 =
1 21 = 2 22
= 4 ...
Das duale Zahlensystem hat eine praktische Bedeutung in der EDV, da
sich die Zeichen 0 und 1 in die elektronischen Signale „ein“ und „aus“
umsetzen lassen.
Beispiel:
Die binäre Zahl 101101 entspricht der dezimalen 45, denn:
1*25 + 0*24 + 1*23 + 1*22
+ 0*21 + 1*20 = 32 + 0 + 8 + 4 + 0 +
1 = 45
Die Dezimalzahl 45 kann man mit folgender Rechnung ins Dualsystem umrechnen:
| 45 |
|
ist ungerade |
=> 1 |
| 45 - 1 |
= 44 |
|
|
| 44 : 2 |
= 22 |
ist gerade |
=> 0 |
| 22 : 2 |
= 11 |
|
|
| 11 - 1 |
= 10 |
ist ungerade |
=> 1 |
| 10 : 2 |
= 5 |
ist ungerade |
=> 1 |
| 5 - 1 |
= 4 |
|
|
| 4 : 2 |
= 2 |
ist gerade |
=> 0 |
| 2 : 2 |
= 1 |
ist ungerade |
=> 1 |
Es ergibt sich die duale Zahl 101101.
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3.1 Addition von dualen Zahlen
Das Addieren dualer Zahlen ist dem Addieren im Dezimalsystem sehr ähnlich.
Es wird stellenweise addiert, entsteht ein Übertrag, geht dieser
auf die nächste Stelle.
Es gelten dabei folgende Regeln:
0 + 0 = 0
1 + 0 = 1
1 + 1 = 0, Übertrag 1
Beispiel : 14+6
| Dezimalsystem |
Duales Zahlensystem |
|
| 14 |
1110 |
|
| + 6 |
+0110 |
|
| 1 0 |
1 1 1 0 0 |
(Übertrag) |
| 20 |
10100 |
|
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3.2 Komplementbildung
Das Komplement einer n-stelligen Zahl ist deren Ergänzung zum Wert
der Basis.
So ist z.B. das Komplement der dezimalen Zahl 6 die Zahl 4, denn 101
= 10 (Basis ist 10, Ziffer 6 ist einstellig), und die Ergänzung
von 6 zu 10 ist 4.
Das Komplement der dualen Zahl 101 (entspricht der dezimalen 5) ist
die Zahl 11 (entspricht dezimaler 3), da 23 = 8 ist, und die
Ergänzung von 5 zu 8 der 3 entspricht.
Das Dualzahlkomplement kann leicht gebildet werden, indem man die auf
die volle Stellenzahl erweiterte Zahl bitweise invertiert und eine 1 addiert.
Aus 101 wird invertiert 010:
Das Komplement entspricht der negativen Zahl, also im Dezimalsysten wäre
es die -5.
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3.3 Subtraktion
Möchte man eine Subtraktion (A - B) ausführen, kann man folgendermaßen
vorgehen:
-
man bildet das Komplement von B
-
man addiert dieses Komplement zu A
-
man vernachlässigt die n+1-Stelle
Beispiel: 12-7 im Dualen Zahlensystem
1210 = 11002
710 = 1112
Komplement von 0111 ist 1001
1100
+1001
10101
n+1-Stelle vernachlässigt erhält man 1012 = 510
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3.4 Multiplikation / Division
Auch die Multiplikation / Division ist der im Dezimalsystem ähnlich.
Man beachte folgende Regeln:
1 * 1 = 1
1 * 0 = 0
1 / 1 = 1
0 / 1 = 0
Beispiele:
Multiplikation:
| Dezimalsystem |
Dualsystem |
| 5 * 13 |
101 * 1101 |
| 5 |
101 |
| 15 |
101 |
| |
101 |
| |
1111 |
(Übertrag) |
| 65 |
1000001 |
Division:
| Dezimalsystem |
Dualsystem |
| 14 : 4 = 3,5 |
1110 : 100= 11,1 |
| -12 |
-100 |
| 20 |
110 |
| -20 |
-100 |
| 0 |
100 |
| |
-100 |
| |
0 |
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4. Hexadezimalsystem
Da die duale Darstellung von größeren Zahlen sehr viel Platz
beansprucht, fasst man im Hexadezimalsystem (auch Sedezimalsystem genannt)
jeweils 4 Bits zu einer Ziffer zusammen.
Dafür werden die Nennwerte 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B,
C, D, E, F verwendet, die als sedezimale Ziffern bezeichnet werden.
So wird z.B. die Dualzahl 1111100111000101 folgendermaßen ins
Hexadezimalsystem umgewandelt :
1111 1001 1100 0101
F 9
C 5
= F9C5
Es gibt folgende Möglichkeit eine Dezimalzahl in eine Hexadezimalzahl
umzuwandeln:
Man dividiert die entsprechde Zahl fortlaufend durch 16 und wandelt
die Divisionsreste nach der Tabelle am Ende dieses Dokument um.
Die Sedezimalzahl zu Dezimalzahl 63941 ergibt sich also so:
63941 : 16 = 3996 Rest 5
3396 : 16 = 249 Rest 12
249 : 16 = 15
Rest 9
15 : 16 = 0
Rest 15
Die Zahl 63941 entspricht also F9C5 im Hexadezimalsystem.
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5. Tabelle
| dezimal |
dual |
hexadezimal |
| 0 |
0000 |
0
|
|
1
|
0001
|
1
|
|
2
|
0010
|
2
|
|
3
|
0011
|
3
|
|
4
|
0100
|
4
|
|
5
|
0101
|
5
|
|
6
|
0110
|
6
|
|
7
|
0111
|
7
|
|
8
|
1000
|
8
|
|
9
|
1001
|
9
|
|
10
|
1010
|
A
|
|
11
|
1011
|
B
|
|
12
|
1100
|
C
|
|
13
|
1101
|
D
|
|
14
|
1110
|
E
|
|
15
|
1111
|
F
|